morfizm (morfizm) wrote,
morfizm
morfizm

Category:

Кантор

(В порядке ликбеза)

Я уже писал, что орфографические ошибки - это самый большой turn-off в сексуальной привлекательности женщины.
Впрочем, не только сексуальной и не только женщины.

Но орфографичекие ошибки бывают разные. Некоторые вымораживают особенно сильно. Например, когда вместо слова "контора" (сленговое название некоторых учреждений или офиса компании) пишут "кантора". Отягчающим обстоятельством выступает неуважительное написание с маленькой буквы фамилии немецкого математика Георга Ка́нтора, основателя современной теории множеств.

Есть теорема Кантора о мощности множеств: любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Менее мощно, значит, нельзя построить биекцию (взаимнооднозначное соответствие) из одного множества в другое. Эта замечательная теорема позволяет нам осмыслить, например, тот факт, что бесконечность бесконечности рознь*, и что множество всех подмножеств целых чисел БОЛЬШЕ чем множество целых чисел. В частности, можество всех подмножеств целых чисел равномощно множеству всех действительных чисел! А вот множество всех подмножеств действительных чисел... вот это уже пошла круть**! :)

Эта же теорема разрешает известный парадокс Рассела ("содержит ли множество всех множеств самого себя как элемент?"), потому что теория, в которой допустимо построение такого множества, противоречит теореме Кантора и является противоречивой (парадокс Кантора).

*) А вот бесконечное подмножество натуральных чисел вполне себе равномощно всем числам. Я даже нашёл прекрасную визуализацию этого концепта:



Примечания к видео:
- бесконечное число бесконечных последовательностей обычно нумеруют змейкой по треугольнику (см. типичное доказательство, что множество рациональных чисел равномощно множеству целых), но эта элегантная идея со степенями простых чисел, вероятно, более проста для объяснения широким массам,
- если вас раздражает необходимость гостей постоянно переезжать, этого можно избежать если сразу размещать их по степеням простых чисел или каким-то подобным образом, но тогда гостиница будет изначально не заполнена - не будет впечатляющей идеи, будто бы гостиница 100% заполнена, но всегда может вместить ещё.

**) Кстати, в связи с мощностью множеств есть простейшая по формулировке, но очень трудная для доказательства математическая проблема: существует ли такое промежуточное множество, имеющее мощность выше натуральных чисел, но ниже действительных? Эта проблема называется Континуум-гипотеза и она была первой в списке Проблем Гильберта. Доказан интересный результат - что ни существование такого множества, ни запрет на его существование, не противоречат системе аксиом Цермело-Френкеля. Тем не менее, про какие-либо способы конструктивного построения подобного множества ничего не известно! :)
Tags: 1, language, linguistics, math
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments