?

Log in

No account? Create an account
   Journal    Friends    Archive    Profile    Memories
 

Забавные задачки - morfizm


Aug. 4th, 2015 01:26 pm Забавные задачки

Давайте порешаем задачки на вероятность. В зависимости от ваших ответов, может возникнуть интересное обсуждение и дополнительные задачки. (Спасибо raindog_2 за приватное обсуждение этих задачек, было очень интересно).

1. У Вани двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик. Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики?

2. У Пети двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики?

Для второй задачи дайте не только ответ, а ещё и объяснение.

Tags: ,

56 comments - Leave a commentPrevious Entry Share Next Entry

Comments:

From:rezkiy
Date:August 4th, 2015 09:38 pm (UTC)
(Link)
1/3

13/27, если не обсчитался нигде конечно же

а что объяснять тут?
From:morfizm
Date:August 4th, 2015 09:43 pm (UTC)
(Link)
Объяснять, откуда 13/27 взял. И отдельно, почему вообще ответ в задачах разный.

Вот, скажем, вариация формулировки:

3. У Пети двое детей. Когда я с ним познакомился, он сказал мне, что один из них мальчик. А ещё он добавил, что этот мальчик родился во вторник*. Какова вероятность, что оба ребёка мальчики?

* -- ну мог бы и не добавлять? или мог назвать любой другой день недели? чем именно вторник так отличился? понятно, что мальчик родился в какой-то день недели. Почему всего лишь называние этого дня вслух меняет вероятность, что оба мальчики?


Edited at 2015-08-04 09:43 pm (UTC)
From:_winnie
Date:August 4th, 2015 10:00 pm (UTC)
(Link)
> 1. У Вани двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик.

Дополнительно, интересно подумать, чем это условие отличается от условия "коллега привел одного ребёнка на работу, вы увидели что это мальчик". Каким вообще образом в жизни вы можете узнать информацию "один из - мальчик", вместо "вы видите сына коллеги, и он мальчик".

> У Пети двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики?

Считается, что дни недели рождения и пол детей независимы и равновероятны (хотя на практике могут быть тонкости).
Переберем все случаи, найдём количество случаев "оба мальчики" и количество случаев "один из них, мальчик родившийся в понедельник", найдем сколько случилось первых при условии второго. Легко в голове представить 2D-таблицу 14x14, но можно и в лоб кодом:

# -*- encoding: UTF-8 -*-

days = [ 'Пн', 'Вт', 'Ср', 'Чт', 'Пт', 'Сб', 'Вс' ]
genders = [ 'М', 'Д' ]

eventUnderConditionCount = 0
conditionCount = 0
for day1 in days:
    for day2 in days:
        for gender1 in genders:
            for gender2 in genders:
                isTuesedayBoy1 = (day1 == 'Вт') and (gender1 == 'М')
                isTuesedayBoy2 = (day2 == 'Вт') and (gender2 == 'М')
                condition = isTuesedayBoy1 or isTuesedayBoy2
                bothBoys = gender1 == gender2 == 'М'

                conditionCount += int(condition)
                eventUnderConditionCount += int(condition and bothBoys)

print '{}/{}'.format(eventUnderConditionCount, conditionCount)





Edited at 2015-08-04 10:04 pm (UTC)
From:_winnie
Date:August 4th, 2015 11:09 pm (UTC)
(Link)
Картинку - нарисовал:



( http://dobrokot.ru/pics/i2015-08-05__01-42-32_6kb.png )
From:rsokolov
Date:August 5th, 2015 03:41 am (UTC)
(Link)
Когда у нас есть информация о конкретном ребенке (о старшем, о первом из тех кто вошел в комнату, etc.), что он мальчик, то вероятность того, что второй конкретный ребенок окажется мальчиком, равна 1/2.

Когда мы знаем, что есть ребенок, родившийся во вторник, то это в достатчной степени его конкретизирует, т.к. вероятность того, что второй ребенок родится во вторник - мала. Т.о. если родившийся во вторник ребенок является мальчиком, то вероятность того, что другой ребенок будет мальчиком близка к 1/2 (на самом деле - чуть меньше, 13/27).

Если же мы вообще никак не можем конкретизировать ребенка, о котором известно, что он - мальчик, то тогда вероятность того что оба ребенка окажутся мальчиками будет всего лишь 1/3.

А вот почему наша неспособность различить детей приводит к тому, что вероятность падает (с 1/2 до 1/3), этого я объяснить не могу.
From:morfizm
Date:August 5th, 2015 04:04 am (UTC)
(Link)
> А вот почему наша неспособность различить детей приводит к тому, что вероятность падает (с 1/2 до 1/3), этого я объяснить не могу.

Мне легче осмыслить этот переход, если подумать об изначальном selection: подумать обо всех возможных парах детей, и о том, сколько из них придётся вычеркнуть при наличии информации. Наличие информации о конкретном мальчике (скажем, старшем, или первом, кто вошёл в комнату) убирает 50% вариантов, оставляя 25% "вторая девочка" и 25% "второй мальчик". Естественно, они делятся пополам.

Наличие информации о каком-то мальчике из двух убирает только "двух девочек", 25%, а в оставшихся трёх вариантах именно неопределённость с мальчиками и добавляет те экстра 25% дополнительных вариантов по сравнению с предыдущим случаем - мы не знаем, какой мальчик, поэтому к неудачным вариантам "вторая девочка" ещё добавляется группа вариантов "второй мальчик, но девочка была первой". Больше неудачных вариантов - меньше вероятность удачного. Как бы логично и естественно.
From:victorbarinov
Date:August 5th, 2015 04:44 am (UTC)

=)

(Link)
Задал задачку жене:

> 1. 1/3
> 2. Ненавижу теорию вероятностей!
From:lyuden
Date:August 5th, 2015 05:44 am (UTC)
(Link)
где то 105/205 в обоих случая. Чего объяснять во втором случае я не понимаю.
From:lyuden
Date:August 5th, 2015 05:45 am (UTC)
(Link)
Я тормоз. Как всегда отвечал не на задачу

UPD: Не я тормоз не поэтому, просто не понимаю теорию вероятностей вообще видимо. Или русский язык.

Edited at 2015-08-05 05:54 am (UTC)
From:eternele
Date:August 5th, 2015 01:07 pm (UTC)
(Link)
У меня с вероятностью не очень, но как раз недавно пришлось заново изучить Bayes' theorem:


Где:
- искомая вероятность.

1) В первом случае:
- вероятность того, что хотя бы один - мальчик, зная, что мальчиков двое. Очевидно, равна единице.

P(A) - вероятность того, что мальчика двое. Равняется 1/4.
P(B) - вероятность того, что хотя бы один - мальчик. Равняется 3/4.

То есть, искомая вероятность: 1*1/4:3/4=1/3.

2) Во втором случае:
- вероятность того, что хотя бы - один мальчик, родившийся во вторник, зная, что мальчиков двое. Равняется: 1/7*1/7+2*1/7*6/7=13/49.
P(A) - вероятность того, что мальчика двое. Равняется 1/4.
P(B) - вероятность того, что хотя бы один - мальчик, родившийся во вторник. Равняется 3/4*13/49.

Итого: 1/3. Собственно, вероятность даже считать не надо было, потому что на неё потом делишь.

ЗЫ: Кстати, я не учитывала, что вероятность рождения мальчика не равна вероятности рождения девочки, а то задолбаюсь.

Edited at 2015-08-05 01:09 pm (UTC)
From:_winnie
Date:August 5th, 2015 05:23 pm (UTC)
(Link)
> P(B|A) - вероятность того, что хотя бы - один мальчик, родившийся во вторник, зная, что мальчиков двое. Равняется: 1/7*1/7+2*1/7*6/7=13/49.
Угу
> P(A) - вероятность того, что мальчика двое. Равняется 1/4.
Угу
> P(B) - вероятность того, что хотя бы один - мальчик, родившийся во вторник. Равняется 3/4*13/49.
Не-а. Тут сложнее считается.

ИМХО, в данном случае теорема Байеса - лишнее, она ничего не упрощает в этой задаче по сравнению с прямолинейным определением P(A|B) = P(A&B)/P(B).

Теорема Байеса - хороша например в таком случае: для оценки гипотез о состоянии черного ящика по его выводу - нужно взять наши априорные оценки для гипотез, и домножить каждую ни них на вероятность события при данной гипотезе.
А затем возможно нормализовать чтобы сумма равна была 1 (это не обязательно делать каждый раз при поступлении новой порции данных).
From:sim0nsays
Date:August 6th, 2015 12:08 am (UTC)
(Link)
Хорошая задачка, спасибо! Думал над интуитивным объяснением всю дорогу на поезде.

Наверное, это качественно можно понимать так.
Представим вот такой интуитивный анализ первой задачи. Если мальчик старший ребенок, то вероятность что младший ребенок тоже мальчик - 1/2, поэтому в этом случае вероятность что оба мальчики - 1/2. Если мальчик младший ребенок, то вероятность что старший мальчик - тоже 1/2, и значит что оба - опять 1/2. Значит и в общем случае вероятность должна быть 1/2.
Этот анализ неправилен тем, что мы событие "оба мальчики" посчитали в обоих случаях, а так делать нельзя - будет неправильный результат - должен быть правильный 1/3.

Но чем больше информации мы знаем про одного ребенка, тем меньше шанс что второй с ним совпадет по всем параметрам - и поэтому вероятность "пересечения" меньше, и тем меньше первый анализ "неправилен". В пределе, если специфицировать не только вторник, а еще цвет глаз, секунду рождения, итд итд - это полностью зафиксирует один сэмпл, и изначальный анализ станет правильным - с результатом 1/2.

Edited at 2015-08-06 12:09 am (UTC)
From:l_sylvanas
Date:August 6th, 2015 07:10 am (UTC)
(Link)
Вот это мне чуть более понятно :).
From:andronic
Date:August 6th, 2015 08:10 am (UTC)
(Link)
Второй ответ: 13/27
М1 М2 М3 М4 М5 М6 М7 Ж1 Ж2 Ж3 Ж4 Ж5 Ж6 Ж7
М1 +
М2 + + + + + + + - - - - - - -
М3 +
М4 +
М5 +
М6 +
М7 +
Ж1 -
Ж2 -
Ж3 -
Ж4 -
Ж5 -
Ж6 -
Ж7 -
From:me_milady
Date:August 6th, 2015 09:33 am (UTC)
(Link)
1) Всего возможных исходов: М + Д, М + М. Вероятность М+М = 50%.
2) То же самое, не поняла я причём здесь вторник =)
From:fenikso
Date:August 8th, 2015 04:17 pm (UTC)
(Link)
У меня плохо с дополнительными измерениями, поэтому в обоих случаях - 50%. "Или встречу, или нет встречу" (с) ;)

От себя сформулирую задачу 3:
3. У Коли двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик, родившийся во вторник и носящий ботинки 30го размера. Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики?
From:livejournal
Date:August 9th, 2015 10:24 pm (UTC)

No title

(Link)
User rsokolov referenced to your post from No title saying: [...] перепутать детей, тем ближе вероятность того, что оба они мальчики, к 1/2. (См. обсуждение здесь [...]
From:smogendr
Date:August 15th, 2015 11:06 am (UTC)
(Link)
Я правильно понимаю, что из упоминания, что мальчик родился во вторник, делается вывод, что другой ребенок не родился во вторник? Можно поподробнее?