?

Log in

No account? Create an account
   Journal    Friends    Archive    Profile    Memories
 

Забавные задачки - morfizm


Aug. 4th, 2015 01:26 pm Забавные задачки56 comments - Leave a commentPrevious Entry Share Next Entry

Comments:

From:_winnie
Date:August 4th, 2015 11:13 pm (UTC)
(Link)
Я легко вижу и визуально, и могу посчитать на бумажке отношение сумм P(оба мальчики мальчик & один из них во вторник)/P(один мальчиков родился во вторник), но пока что не понимаю как сказать лаконично и понятно, почему информация про вторник (или, доводя до предела, 1 января 2000 года) - меняет ответ.

Ответ "потому что меняется сигма-алебра" - непонятный. В моём подсчете алгебра не меняется, меняются только элементы сигма-алебры. Ответ "потому что меняется сигма-алебра" - звучит так же непонятно, как "потому что математика" или "или потому что календарь".
From:rezkiy
Date:August 4th, 2015 11:20 pm (UTC)
(Link)
ответ это ведь не то когда родился мальчик или сколько там детей. Это вероятность какого-то исхода. Попробуйте думать о вероятности как о количественном выражении вашего незнания реальности. Новая информация может менять это незнание.
From:morfizm
Date:August 5th, 2015 12:48 am (UTC)
(Link)
Я прекрасно понимаю, что переход от "детей двое" к "детей двое и один из них мальчик" меняет вероятность двух мальчиков с 1/4 до 1/3. Было 4 варианта: ЖЖ, МЖ, ЖМ, ММ, новая информация исключает ЖЖ как невозможный, остаётся МЖ, ЖМ, ММ. Теперь P(MM) = |{ММ}|/|{МЖ, ЖМ, ММ}| = 1/3.

Интересен следующий переход - от "детей двое и один из них мальчик" к "детей двое и один из них мальчик, и, кстати, один из мальчиков родился во вторник". Множество {МЖ, ЖМ, ММ} он не меняет - любой из этих трёх исходов всё ещё возможен.

На каком основании ты бросаешь декартово произведение {М, Ж}x{М, Ж} и начинаешь рассматривать {М-Пн, М-Вт, ..., М-Вс, Ж}x{М-Пн, М-Вт, ..., М-Вс, Ж}?

Я бы понял, если бы была оговорка, что "вторник" был зафиксирован изначально, и выбор семей происходил только среди тех, где один из мальчиков родился во вторник.

Но что если выбор был совершенно случайный по всем семьям, а дополнительная информация нам открылась просто по факту? Был вторник - открылся вторник, была бы среда - открылась бы среда.
From:_winnie
Date:August 5th, 2015 01:39 am (UTC)
(Link)
> Но что если выбор был совершенно случайный по всем семьям
Бинго.
Если выбор был совершенно случайный по всем семьям по условию "есть сын с днём рождения во вторник", то будет чаще выигрывать те семьи, где больше сыновей.

Утверждение "а дополнительная информация нам открылась просто по факту?" является или некоррекным, если выбор папы из двух разных вариантов не определён.
Или если выбор папы конкретизировать, например:
1) случайным и равновероятным
2) "больший по номеру"
3) в случае возможности выбора - выбрать обязательно не вторник
4) в случае если есть вторник - выбрать именно вторник, иначе случайный
- то получаются другие задачи.


Итого, вторая задача решается так, как мы её так решали, потому что мы интерпретировали именно так - "среди всех вариантов семей честно и без перекосов отобрали по условию A, найти вероятность условия B"
Ну потому что инерция, что задачи в задачнике по теор-веру нужно было дешифровывать именно так.


При переходе от "честно отобрали по условию" к "Петя выбирает, что сказать про свою семью" - получается другая задача, в которой нужно доопределить алгоритмы или цели Пети.



Edited at 2015-08-05 02:02 am (UTC)
From:morfizm
Date:August 5th, 2015 02:23 am (UTC)
(Link)
Да, это правильный ответ, причём очень лаконично сформулированный (в последнем предложении особенно) -- насколько это понимаю я, с учётом того, что я ещё до этого поста потратил несколько дней лениво думая об этой задаче, несколько часов обсуждений с другими людьми, которые тоже крепко обо всём подумали.

Если пойти ещё дальше и заметить, что про алгоритм/стратегию отбора, а также про алгоритм/стратегию того, что говорит Петя, не было сказано ни слова, то задача изначально некорректно сформулирована. Т.е. фраза "честно отобрали по условию" не имеет смысла - в условии ничего не сказано про критерии отбора! :)

Я это, кстати, не сразу понял, но для меня "естественным" вариантом был противоположный (предположить, что был равновероятный отбор по всем возможным семьям, а всё остальное - дополнительная инофрмация, которая правдива, но по ней не проводился отбор, в случае невозможности сказать её, было бы сказано что-то другое), и это будет ответ 1/3. Столкновение ответов 1/3 и 13/27 породило интересную дискуссию.

Кстати, если предположить, что отобрали случайные семьи и потом про них начали что-то говорить, то возникает любопытный эффект. Некоторая информация добавляет энтропию (и меняет вероятность в ответе), а некоторая нет. В частности, "детей двое" даёт 1/4, но с добавлением "один из детей мальчик" - получаем уже 1/3. Т.е. "один из детей мальчик" меняет вероятность, даже если мы по этому критерию не отбирали, а Петя просто сообщил это как забавный фактоид! :) Но вот забавный фактоид "один из детей родился во вторник" в этом случае, к сожалению, не даёт ничего.
From:morfizm
Date:August 5th, 2015 01:06 am (UTC)
(Link)
Иными словами, интересен вопрос, несёт ли "вторник" какую-то ненулевую энтропию, тем самым меняя вероятности, или не несёт (ведь вместо вторника мог оказаться любой другой день).

Информация о том, что "хотя бы один мальчик" энтропию точно несёт: две девочки исключаются из рассмотрения, при прочих равных три других исхода следует и дальше считать равновероятными, общая вероятность меняется на 1/3.
From:_winnie
Date:August 5th, 2015 01:29 am (UTC)
(Link)
Получается что несёт.

Даже ещё интересней: если мы скажем "его зовут вася" или "вот его паспорт" вместо "он родился во вторник", то будут примерно такая же арифметика.


Я кажется начал понимать, куда копать при объяснении парадокса "он просто называет какой-то существующий день недели" - если у папы двое сыновей, то как выбирает из двух дней, какой сказать?
From:morfizm
Date:August 4th, 2015 11:21 pm (UTC)
(Link)
Меня не столько интересует объяснение подсчёта P(оба мальчики мальчик & один из них во вторник)/P(один мальчиков родился во вторник), как объяснения, почему именно такая модель выбрана тобой для вычисления ответа. См. варианты интерпретации, которые я привёл выше по треду. Скопирую тут:

===
3. У Пети двое детей. Когда я с ним познакомился, он сказал мне, что один из них мальчик. А ещё он добавил, что этот мальчик родился во вторник*. Какова вероятность, что оба ребёка мальчики?

* -- ну мог бы и не добавлять? или мог назвать любой другой день недели? чем именно вторник так отличился? понятно, что мальчик родился в какой-то день недели. Почему всего лишь называние этого дня вслух меняет вероятность, что оба мальчики?
===
Т.е. ты хочешь сказать, что если бы рядом с Петей стоял я и готов был спорить с тобой про двух мальчиков, то до вброса про вторник, ты бы считал выгодными ставки 1:2+epsilon, но невыгодными, скажем, 1:1.5, а после вброса ты бы был готов ставить 13:14+epsilon и 1:1.5 тебе бы показалось круто и выигрышно?
===
From:_winnie
Date:August 4th, 2015 11:27 pm (UTC)
(Link)
> как объяснения, почему именно такая модель выбрана тобой для вычисления ответа
Ну собственно это дословный перевод с русского в формульный:

"известно что A, чему тогда равна вероятность B".
P(A&B)/P(A).

> он сказал мне, что один из них мальчик. А ещё он добавил, что этот мальчик родился во вторник
Скорее всего, я бы не сразу понял, что эта формулировка - та же самая, затупил бы в панике, и сделал бы неправильные подчеты, и ещё бы и просто ошибся в арифметике.


> чем именно вторник так отличился? понятно, что мальчик родился в какой-то день недели.
А вот это и мне интересно. Но на картинке легко видно, что это меняет случай с двумерного - на почти одномерный (тонкий крестик)



Edited at 2015-08-04 11:30 pm (UTC)
From:morfizm
Date:August 4th, 2015 11:35 pm (UTC)
(Link)
> Ну собственно это дословный перевод с русского в формульный:
>
> "известно что A, чему тогда равна вероятность B".
> P(A&B)/P(B).

Можно поподробнее.
Я в оригинальной формулировке вижу совсем другой паттерн:

У Пети двое детей (A), по крайней мере один из которых - мальчик (B), родившийся во вторник (C). Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики (D)?

Известно, что A, B, C, какова вероятность D?


> > чем именно вторник так отличился? понятно, что мальчик родился в какой-то день недели.
> А вот это и мне интересно. Но на картинке легко видно, что это меняет случай с двумерного - на почти одномерный (тонкий крестик)

А как, скажем, влияет тот факт, что даже если не говорить слово "вторник" вслух, то мы-то знаем, что какой-то один конкретный день недели является днём рождения одного из мальчиков?
From:_winnie
Date:August 4th, 2015 11:49 pm (UTC)
(Link)
> А как, скажем, влияет
Вот так:
http://dobrokot.ru/pics/i2015-08-05__02-44-04_10kb.png

> У Пети двое детей (A),
class Child {
gender: М или Ж;
weekday: день недели, 7 вариантов;
}

Child children[2];
> по крайней мере один
function Condition(Child children[2]) {
BC(children[0]) or BC(children[1])
}

> мальчик (B), родившийся во вторник (C)
function BC(Child ch) { return ch.gender == М and ch.weekday == вторник; }

> Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики (D)?
перебираем все случаи подходящие под Condition, смотрим какая доля из них подходит под второе условие "оба мальчики".


Edited at 2015-08-04 11:51 pm (UTC)
From:rezkiy
Date:August 4th, 2015 11:55 pm (UTC)
(Link)
>> А как, скажем, влияет тот факт, что даже если не говорить слово "вторник" вслух, то мы-то знаем, что какой-то один конкретный день недели является днём рождения одного из мальчиков?

мальчики во вторник рождаются достаточно редко, только в 1/7 случаев. А у нас апостериори известно, что им повезло. Поэтому это серьезный аргумент в пользу того что их два.
From:morfizm
Date:August 5th, 2015 12:50 am (UTC)
(Link)
Но вместо вторника может быть любой другой день недели, и твой аргумент с везением можно было бы так же точно применить? Мне немного стрёмно, что ответ в задаче может поменяться только лишь от того, что ты "думаешь о вторнике" или временно забыл, что дни недели существуют. (Если достаточно подумать о вторнике, чтобы изменить вероятность, что если мы подумаем о месяце и дне рождения? Опять изменится?)
From:moneo
Date:August 6th, 2015 06:22 am (UTC)
(Link)
У Пети двое детей. Когда я с ним познакомился, он сказал мне, что один из них мальчик. А ещё он добавил, что этот мальчик родился во вторник.

Это уже другая задача. Когда говорится "по крайней мере один из детей мальчик", а потом дается уточнение "этот мальчик родился во вторник", то у нас с вероятностью 1/2 получается горизонтальная или вертикальная полоска на картинке http://dobrokot.ru/pics/i2015-08-05__02-44-04_10kb.png. Крест получается когда говорится именно "по крайней мере один из детей мальчик, который родился во вторник".
From:moneo
Date:August 6th, 2015 06:26 am (UTC)
(Link)
> У Пети двое детей. Когда я с ним познакомился, он сказал мне, что один из них мальчик. А ещё он добавил, что этот мальчик родился во вторник.

Это уже другая задача. Когда говорится "по крайней мере один из детей мальчик", а потом дается уточнение "этот мальчик родился во вторник", то у нас с вероятностью 1/2 получается горизонтальная или вертикальная полоска на картинке. Крест получается когда говорится именно "по крайней мере один из детей мальчик, который родился во вторник".