Tags: math

moth

Теория относительности

Случайно наткнулся на чудесный ролик серии "Физика от Побединского" (кстати, очень рекомендую этого чувака), который, наконец, объяснил мне те пробелы, которые мешали мне читать что-либо совершенно базовое по теории относительности. Ощущение, как будто занозу вытащили, которая с самого детства сидела в жопе.

Короче, в школе нам, как всегда врали, будто гравитация это сила. Она просто очень похожа на "силу", чтобы объяснились наблюдения в парадигме Евклидовой геометрии. Если же представить себе, что мир - это четырёхмерное пространство-время, причём определённым образом искривлённое (а каким - об этом расскажет Mr Побединский), то все наблюдаемые эффекты гравитационного взаимодействия можно свести к естественному состоянию покоя массы: к равномерному движению.

Обычно более общая теория проще более специфичной. Именно в этом состоит упрощение: гравитация это геометрический параметр пространства, а не параметр взаимодействия частиц. Теперь на одно фундаментальное взаимодействие меньше - остаётся только электромагнетизм плюс ещё некоторые.

moth

Научные атеисты, агностики и шарлатаны

Научная парадигма строится вокруг понятия научного эксперимента и научных измерений, научность которых определяется набором мер, принятых для избежания человеческого фактора - когнитивных искажений. Одна из ключевых характеристик эксперимента (в частности, измерения) - это воспроизводимость другим человеком. Не всегда очень практичная, но всегда возможная в рамках доступных человечеству ресурсов. В идеале, конечно, практичная и дешёвая.

Вторая часть науки - это абстрактные модели, которые описывают мир похожий на наш реальный с некоторой погрешностью. Требование научности моделей - это:
1. Требование измеряемости, т.е. самой возможности построения морфизма из теоретической модели в реальность.
2. Требование низкой погрешности: чтобы значения, предсказанные моделью, относительно измеряемых величин не сильно отличались от результатов измерений.

Когда эти два требования выполнены, можно доверять значениям, предсказанным модели, относительно ещё не измеренных величин. Тут мы приходим к ещё одному важному свойству научности: предсказательная сила - это единственно полезное и нужное нам свойство. Модели, которые описывают прошлое, без способности предсказывать будущее, научного интереса не представляют, поэтому их вполне можно считать ненаучными.

После такого предисловия можно определить отличие между (научным) атеизмом и агностицизмом, как я его вижу.
*) Атеист скажет, что ненаучные модели неверны (ненаучность приравнивается к неверности).
*) Агностик скажет, что ненаучные модели - это забавное теоретическое построение, могущее быть полезным (т.е. могущее иметь предсказательную силу) в области неизведанного (в той области, которая научными моделями не покрывается).

Но агностик не будет принимать ненаучные модели, вступающие в противоречие с научными. В этом отличие агностика от шарлатана. Для агностика паранормальное - это OK, но только в той области, которая наукой не покрывается вовсе. Для шарлатана вообще всё OK :)

Эх... к чему же я?
За последнее время мои друзья, которых хочется всё-таки считать не шарлатанами, а заблудшими агностиками, уже неоднократно пытались надругаться над случайными процессами. Это, видимо, какой-то популярный тренд.

Если вы бросаете кубик, то вероятность выпадения шестёрки - одна шестая. Насколько эта модель соответствует реальности зависит от двух вещей:
- от свойства кубика (от того, насколько этот кубик идеально сделан, чтобы не было смещения центра тяжести и чтобы выпадение граней было равновероятным),
- от скорости броска (если заранее посмотреть, какой стороной кубик повёрнут и бросить очень медленно, чтобы кубик почти не перевернулся или перевернулся всего один-два раза, то становится возможным предсказать результат в зависимости от броска).

От того, какие мысли при этом думает человек, стоящий на расстоянии двух метров от бросающего кубик, это не зависит.
От того, что выпадало на кубике в прошлый раз, это тоже не зависит. Исходы разных равновероятных событий не зависят друг от друга.

Это не перечёркивает всяческую позитивную "магию мысли" - у неё есть своё место в этом мире. Например, популярный "закон притяжения" (надо думать и говорить про вещи, которые ты хочешь, чтобы появились в твоей жизни, как бы отправляя "запрос" во вселенную) несомненно, работает. Но работает он только на относительно долгий срок и только из-за человеческого фактора. Из-за того, что декларацией желаемого ты сам себя настраиваешь на действия, которые приведут к получению желаемого, а также ты настраиваешь окружающих, чтобы они тебе помогли. Но в каждом отдельном броске кубика в твоей жизни вероятность выпадения шестёрки будет всё равно одна шестая.

Если вдруг так окажется, что у какого-то смертного есть сверхспособность, чтобы силой мысли повлиять на исход случайного события (или хоть с какой-то минимальной степенью достоверности узнать заранее этот исход), то эту способность можно немедленно использовать, чтобы заработать неограниченное количество денег (миллиард, и т.п.) на сток-маркете.

По поводу вероятностей... агностикам комфортно работать с низкими вероятностями (если есть 0.01% шанс, что что-то возможно, то это неизведанная область, существование которой нельзя отбросить без доказательства). Но всему есть предел, даже таким допущениям! Есть существенная разница между 0.01% и 0.0000...(миллион в миллионной степени нулей)...001%.

Есть вещи, вероятность возможности которых настолько низкая, что их можно смело считать бредом. Например, мне попадались приверженцы креационизма, объясняющие, что Бог создал мир за 6 дней (буквально!), примерно 6000 лет назад, заложив сразу же в землю ископаемые останки возрастом в миллионы лет, продукты частичного радиоактивного распада, указывающего возраст Земли якобы 4.5 миллиарда лет и т.п. - просто чтобы учёным веселее жилось. Или можно себе представить, что Земля плоская, а пространство представляет из себя сложнейшую и хитрейшую линзу, чтобы со всех ракурсов Земля казалась шаром, и чтобы при этом выполнялись законы физики, как будто это шар. Да, это теоретически возможно, но вероятность подобной трактовки намного ниже, чем вероятность, что все люди на планете законспирируются, чтобы свести вас с ума.
moth

Сколько квадратов вы видите на рисунке

Увидел неплохую задачку в фейсбуке - сколько квадратов вы видите на рисунке:



Сначала задумался, начал как дурак считать квадраты, а потом мне открылось:
Во-первых, я понял, что на этом рисунке я вижу не менее ℵ1 квадратов, поэтому посчитать их принципиально невозможно.
Во-вторых, я понял, что во всех школьных задачниках с похожими задачками, нас всё время обманывали.
moth

Анекдоты

Читал старые анекдоты, не смог удержаться, чтобы не запостить вот этот:

В дешевых учебниках по математическому анализу вместо натуральных логарифмов используются логарифмы, идентичные натуральным.

logarithm

(сгенерировано мемгенератором)
moth

Задачка

Друг задал мне задачку, когда я был у него в гостях. (Вообще-то, ещё на Thanksgiving в далёком 2018 году.) Я над ней подумал пару часов, чувствовал себя на волоске от решения, но дольше думать над задачкой в гостях не положено, поэтому я сдался и решил подумать над ней в другой раз. Другой раз у меня так и не наступил, но не пропадать же вкуснейшей задачке?

Делюсь. Прошу не постить решения, но если вы смогли решить, то маякните. Это интересно! :)
Я её тэгаю "interview questions" просто чтобы искались другие задачи, но эта задача неинтервьюшного уровня, по-моему, заметно сложнее.

Итак, двое смертных попали к дьяволу. Дьявол позвал к себе в комнату первого из них, закрыл дверь, и подвёл к шахматной доске. На каждой клетке доски лежало по фишке. Фишки с одной стороны белые, с другой чёрные. На доске они лежали какой-то стороной вверх, где-то чёрной, где-то белой. Дьявол ткнул пальцем в одну из фишек, после чего предложил чуваку перевернуть любую фишку на доске. После этого дьявол выгонит чувака через чёрный ход (так, чтобы он не смог встретиться со вторым), а в комнату пригласит второго. Ему нужно определить, в какую фишку дьявол ткнул пальцем (надо ткнуть туда же). Если ему удастся это сделать, они оба выживут и отправятся обратно на землю, а если нет - сгорят в вечном огне. Придумайте стратегию выживания для этих чуваков. Они могут заранее обсудить стратегию, но после входа первого чувака к дьяволу, передавать друг другу какую-то дополнительную информацию они не могут.
moth

Кантор

(В порядке ликбеза)

Я уже писал, что орфографические ошибки - это самый большой turn-off в сексуальной привлекательности женщины.
Впрочем, не только сексуальной и не только женщины.

Но орфографичекие ошибки бывают разные. Некоторые вымораживают особенно сильно. Например, когда вместо слова "контора" (сленговое название некоторых учреждений или офиса компании) пишут "кантора". Отягчающим обстоятельством выступает неуважительное написание с маленькой буквы фамилии немецкого математика Георга Ка́нтора, основателя современной теории множеств.

Есть теорема Кантора о мощности множеств: любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Менее мощно, значит, нельзя построить биекцию (взаимнооднозначное соответствие) из одного множества в другое. Эта замечательная теорема позволяет нам осмыслить, например, тот факт, что бесконечность бесконечности рознь*, и что множество всех подмножеств целых чисел БОЛЬШЕ чем множество целых чисел. В частности, можество всех подмножеств целых чисел равномощно множеству всех действительных чисел! А вот множество всех подмножеств действительных чисел... вот это уже пошла круть**! :)

Эта же теорема разрешает известный парадокс Рассела ("содержит ли множество всех множеств самого себя как элемент?"), потому что теория, в которой допустимо построение такого множества, противоречит теореме Кантора и является противоречивой (парадокс Кантора).

*) А вот бесконечное подмножество натуральных чисел вполне себе равномощно всем числам. Я даже нашёл прекрасную визуализацию этого концепта:



Примечания к видео:
- бесконечное число бесконечных последовательностей обычно нумеруют змейкой по треугольнику (см. типичное доказательство, что множество рациональных чисел равномощно множеству целых), но эта элегантная идея со степенями простых чисел, вероятно, более проста для объяснения широким массам,
- если вас раздражает необходимость гостей постоянно переезжать, этого можно избежать если сразу размещать их по степеням простых чисел или каким-то подобным образом, но тогда гостиница будет изначально не заполнена - не будет впечатляющей идеи, будто бы гостиница 100% заполнена, но всегда может вместить ещё.

**) Кстати, в связи с мощностью множеств есть простейшая по формулировке, но очень трудная для доказательства математическая проблема: существует ли такое промежуточное множество, имеющее мощность выше натуральных чисел, но ниже действительных? Эта проблема называется Континуум-гипотеза и она была первой в списке Проблем Гильберта. Доказан интересный результат - что ни существование такого множества, ни запрет на его существование, не противоречат системе аксиом Цермело-Френкеля. Тем не менее, про какие-либо способы конструктивного построения подобного множества ничего не известно! :)
moth

Забавные задачки

Давайте порешаем задачки на вероятность. В зависимости от ваших ответов, может возникнуть интересное обсуждение и дополнительные задачки. (Спасибо raindog_2 за приватное обсуждение этих задачек, было очень интересно).

1. У Вани двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик. Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики?

2. У Пети двое детей, по крайней мере один из которых - мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что оба ребёнка мальчики?

Для второй задачи дайте не только ответ, а ещё и объяснение.
blue

Очередная задачка на взвешивания монеток

Полгода назад goliafffff выложил задачку на взвешивание монеток.
Вот условие: "Среди 12 монет найти фальшивую за 3 взвешивания на весах-чашках. Легче или тяжелее монетка - не известно."

Мне кажется, грех тратить уйму времени на задачки, которые легко решаются перебором, так что я особо не ломал голову над ней. Но несколько человек просили посмотреть моё решение, потому публикую под катом.

Collapse )
blue

Учебное

Катя (fearless_cat) на днях получила с coursera.org сертификат об окончании очередного курса, в этот раз "Calculus-I", "с отличием" и с 97% score. К сожалению, в её ЖЖ очень мало людей, которые по достоинству оценят данное достижение, так что выложу в своём.

Я уже давно собирался детальный пост про Катину учёбу, с чего оно началось и как оно продолжается. Детальный пост всё ещё собираюсь написать в будущем, но краткую суть изложу. Катя закончила университет Владивостока по направлению "бухгалтерия" и никогда не работала по специальности, долгое время считала себя гуманитарием. Пока не связалась со мной :) Сейчас она занимается домашним образованием с целью получить работу программиста за 3 года подготовки. Один год уже позади, осталось два. Математика и программирование. "Calculus-I" это мат.анализ, 1-я часть, они проходили лимиты, производные и интегралы. Ряды и дифуры ещё не проходили. Мне кажется, для гуманитария, чуть больше года назад начавшего интересоваться техническими предметами, сдача Calculus'а с отличием это весьма remarkable event.